假若要大家徒手劃出圓和方兩種幾何圖型, 相信大部分人會覺得後者比較簡單, 因為直線感覺容易掌握, (除了小部分人懂得利用小指作圓規狀繪劃圓形外), 但試仔細想想所謂真正的直線, 究竟應該是怎樣製作呢? 是用間尺嗎? 那間尺的直邊又怎樣製成? 圓形的原始製法則相對來得簡單, 只要固定兩點的距離, 再固定其中一點在製作面上, 利用該點作中心繞圈便即成形, 這是由於相同的半徑是圓形的唯一幾何特性, 上述方法既可行亦符合要求.直線的問題, 就是需要利用幾何法則把定點轉動出來的曲線軌跡 transform 至直線軌跡, 而第一個發明這個二維轉換的數學家為Peaucellier和Lipkin, 前者是法國軍官, 而後者則是猶太領袖Mussar運動之父Yisroel Salanter的兒子. 他們所創作的聯桿系統, 順理成章地稱作 Peaucellier-Lipkin linkage (圖). 利用三桿組砌成聯桿, 繪劃時只需固定兩點(三角標記, 兩點距離和藍線相等)打圈,就能形成右方的直線, 背後的數學論證也頗為tricky, 有興趣可以參考 http://kmoddl.library.cornell.edu/tutorials/05, 或者自行推算.
後來還有接踵而至的設計, 利用更少的桿數, 達到相同的果效, Hart's linkage 就是其中一個比較著明的5桿系統, 不過改良的系統當然不及第一代的名氣, 誠然Peaucellier-Lipkin linkage的發現, 實在是應用幾何的一大突破.
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